La corrupción, en el centro del panorama político

Woody Allen

Los huevos de pascua

Mario Bergoglio, Primer Papa latinoamericano

Glaucoma, Una enfermedad que no duele y no tiene síntomas

Equinoccio de Primavera 2013

La Hora del Planeta 2013

Ejercicio 3. Elegir entre distintas posibilidades de pago

La Sra. Lucía Benítez se dedica a la venta de equipo de cómputo y tiene que elegir entre las siguientes opciones:

a.     Sueldo base mensual de $4,000 más 4% de comisión sobre las ventas realizadas en el mes.

b.     Sueldo base mensual de $2,500 más 5% de comisión sobre las ventas realizadas en el mes.

c.     Sueldo base mensual de $4,500 más 2.6% de comisión sobre las ventas realizadas en el mes.

d.     Comisión de 6% sobre las ventas realizadas en el mes.

Cada paquete de cómputo tiene un valor de $6,000. Usted, ¿qué le recomendaría a la señora Benítez? ¿Por qué?

Fuente: Lial, L.M. & Hungerford, W.T., 2000. Matemáticas para Administración y Economía. 7ª ed., Pearson.

Desarrollo

  

a.    Sueldo base mensual de $4,000 más 4% de comisión sobre las ventas realizadas en el mes.

C₁ = f (x)

C₁ = 4000 + 0.04 x

b.     Sueldo base mensual de $2,500 más 5% de comisión sobre las ventas realizadas en el mes.

C₂ = f (x)

C₂ = 2500 + 0.05 x

c.     Sueldo base mensual de $4,500 más 2.6% de comisión sobre las ventas realizadas en el mes.

C₃ = f (x)

C₃ = 4500 + 0.026 x

d.     Comisión de 6% sobre las ventas realizadas en el mes.

C₄ = f (x)

C₄ = 0.06 x

De acuerdo a las funciones de las diferentes propuestas, mi recomendación es la siguiente:

1.     No aceptar la opción laboral 3, ya que es la menos atractiva, independientemente de las ventas que realice, siempre tendrá un salario más bajo con respecto a las demás ofertas.

2.    La mejor oferta de laboral que puede aceptar la señora Benítez es la opción 4, ya que si ella vende al mes más de 40 computadoras puede maximizar su salario, entre más computadoras vendas, su salario es mayor.

3.    Si la señora Benítez puede vender solo hasta 25 equipos de cómputo al mes, la opción es aceptar la propuesta 1, en la cual puede ganar hasta $10,000 mensuales.

4.    Si la señora Benítez tiene el potencial de vender de 25 a 40 equipos de cómputo al mes, la opción es aceptar la propuesta 2, en la que puede ganar hasta $14,500 mensuales, siempre y cuando venda los 40 equipos.

Ejercicio 2. Los consumidores a menudo desafían al sentido común

Considera dos refrigeradores de la sección de la línea blanca de un gran almacén. Uno se vende en 700 USD y consume 85 USD de electricidad al año. El otro es 100 USD más caro pero su consumo de energía eléctrica cuesta sólo 25 USD al año. Como cualquiera de los dos refrigeradores debe durar por lo menos 10 años sin reparaciones, la mayor parte de los consumidores comprarán irresistiblemente el segundo modelo, ¿cierto?

Sin embargo, se ha visto que este no es el caso. Muchos estudios de economistas han mostrado que, en un amplio rango de decisiones sobre dinero, desde el pago de impuestos hasta la compra de grandes aparatos domésticos los consumidores toman decisiones en forma constante que desafían al sentido común.

En algunos casos, como en el ejemplo del refrigerador, esto significa que la gente no está dispuesta a pagar un poco más de dinero al principio para ahorrar una buena cantidad a largo plazo. En ocasiones, estudios psicológicos han mostrado que aparentemente los consumidores asignan valores enteramente caprichosos al dinero, valores que dependen del tiempo y de las circunstancias.

En años recientes, esos patrones aparentemente  irracionales del comportamiento humano han sido el tema de un intenso interés por parte de los economistas y los psicólogos, tanto por lo que esto dice acerca de cómo trabaja la mente humana, como por sus implicaciones en la política pública.

Por ejemplo, ¿cómo puede Estados Unidos tender hacia un uso más eficiente de la electricidad si tantos consumidores se rehúsan a comprar aparatos de consumo eficiente de energía, cuando incluso tal comportamiento es en su propio beneficio?

Un concepto muy importante en la investigación del comportamiento económico de los consumidores es el conocido como tasa de descuento. Se trata de una medida de cómo los consumidores comparan el valor de un dólar recibido hoy con uno recibido mañana.

Por ejemplo, considera que ganas 1,000 USD en una lotería. ¿Cuánto dinero más tendrían que darte los organizadores antes de que aceptaras posponer el cobro del cheque por un año?

Algunas personas podrían insistir en por lo menos otros 100 USD ó 10% más, ya que esta cantidad equivaldría a compensar los efectos combinados de la inflación de un año y de la pérdida de los intereses.

Pero, los estudios muestran que alguien que quiere satisfacción inmediata quizá no desearía el aplazamiento de recibir los 1,000 USD por 20, 30  ó aún 40% más de dinero.

En el lenguaje de los economistas, este tipo de persona tiene una tasa alta de descuento: descuenta tanto el valor de 1,000 USD a lo largo de un año, que se necesitarían cientos de dólares extra para hacer la espera tan atractiva como obtener el dinero inmediatamente.

De las dos alternativas, esperar un año por más dinero es claramente más racional que tomar el cheque ahora, ¿Por qué rechazarían las personas 1,400 USD el año próximo a favor de 1,000 USD ahora? Incluso si necesitasen los 1,000 USD inmediatamente, les convendría más pedirlos prestados de un banco, aún con un   20 o 30% de interés.

Entonces, un año después, podrían pagar el préstamo más los intereses con los 1,400 USD y embolsarse la diferencia. Sin embargo, el hecho es que los economistas encuentran numerosos ejemplos de estas altas tasas de descuento implícitas en el comportamiento de los consumidores.

En tanto que los consumidores estaban muy conscientes del ahorro potencial en el momento de la compra, no consideraron el valor de los costos eléctricos mensuales a pagar durante la vida útil de sus refrigeradores e hicieron a un lado la posibilidad de mayores ahorros.

Por ejemplo, se encontró que los calentadores de agua de gas, tenían una tasa de descuento implícita de 100%. Esto significa que al decidir qué modelo era más barato a largo plazo, los consumidores actuaban como si estimaran una cuenta de gas de 100 USD como si fuese en realidad de 25 USD, y así sucesivamente durante la vida del aparato.

Por supuesto, pocos consumidores hacen realmente este cálculo formal. Pero se tiene claramente un patrón de comportamiento extraño en evidencia.

Por ejemplo, algunos experimentos han mostrado que la manera en que los consumidores toman decisiones acerca del dinero depende en gran medida de cuánto dinero está en juego.

Pocas personas están  dispuestas a rechazar 10 USD ahora por 15 USD el año próximo. Pero si aceptarían si la elección está entre 100 USD ahora y 150 USD el año entrante, hecho que explicaría por qué los consumidores parecen preocuparse menos por pequeñas cuentas de electricidad (incluso si suman una cantidad considerable) que por una grande como pago inicial.

Con base a la redacción anterior, resuelve lo siguiente:

a.     Supón que un refrigerador que cuesta 700 USD consume 85 USD de electricidad al año. Escriba una expresión para el costo de compra y costo de funcionamiento del refrigerador durante x años.

b.     Supón que otro refrigerador cuesta 1,000 USD más 25 USD de electricidad al año. Escriba una expresión para el costo total de este refrigerador durante x años.

c.     ¿Qué refrigerador cuesta más durante 10 años? ¿Cuánto más?

d.     ¿En cuántos años serán iguales los costos de los dos refrigeradores?

Fuente: “Consumers often defy common sense” de Malcolm Gladwell en The Washington Post. Copyright 1990, The Washington Post. Reproducido con autorización.

 Desarrollo

a.    Supón que un refrigerador que cuesta 700 USD consume 85 USD de electricidad al año. Escriba una expresión para el costo de compra y costo de funcionamiento del refrigerador durante x años.

C₁ = f (x)

C₁ = 700 + 85 x

La expresión para el costo de compra y costo de funcionamiento del refrigerador durante x años es: C₁ = 700 + 85 x

b.    Supón que otro refrigerador cuesta 1,000 USD más 25 USD de electricidad al año. Escriba una expresión para el costo total de este refrigerador durante x años.

C₂ = f (x)

C₂ = 1000 + 25 x

La expresión para el costo total de este refrigerador durante x años es: C₂ = 1000 + 25 x

c.    ¿Qué refrigerador cuesta más durante 10 años? ¿Cuánto más?

C₁ = 700 + 85 x

C₁ = 700 + 85 (10)

C₁ = 700 + 850

C₁ = 1550

C₂ = 1000 + 25 x

C₂ = 1000 + 25 (10)

C₂ = 1000 + 250

C₂ = 1250

 El refrigerador 1 es más costoso durante 10 años por 300 USD.

d.    ¿En cuántos años serán iguales los costos de los dos refrigeradores?

C₁ = C₂

700 + 85 x = 1000 + 25 x

85 x – 25 x = 1000 – 700

60 x = 300

x = 300 / 60

x = 5

En 5 años el costo de los refrigeradores es igual.

Ejercicio 1. Promedio de egresados

Desde 2003 se ha registrado un aumento del promedio de calificaciones de los egresados. La calificación promedio para todos los alumnos fue de 2.42 en 2003. En 2007 el promedio fue de 2.66. Suponiendo que la tendencia es lineal, con g se representará el promedio acumulativo de las calificaciones de todos los alumnos y t denotará el tiempo medido en años a partir de 2003.

a.     Determina la función g = f(t)

b.     De acuerdo con esta función, ¿Cuándo llegará a 3.0 el promedio de las calificaciones?

c.     Pronostica el promedio de calificaciones para 2010.

d.     Interpreta el significado de la pendiente del modelo planteado.

Fuente: Budnick, F. S. 1990. Matemáticas Aplicadas para Administración, Economía y Ciencias Sociales. 3ª ed., McGraw-Hill, México.

Desarrollo

a.    Determina la función g = f(t)

Dados los puntos (2.42, 2003) y (2.66, 2007)

g = f (t)

g = (2.66 – 2.42 / 2007 – 2003) t

g = (0.24 / 4) t

g = 0.06 t

Reemplazando uno de los puntos dados:

g – 2.66 = 0.06 (t – 2007)

g = 0.06 t – 120.42 + 2.66

g = 0.06 t – 117.76

La función de la recta es: g = 0.06 t – 117.76

  

b.    De acuerdo con esta función, ¿Cuándo llegará a 3.0 el promedio de las calificaciones?

g = 0.06 t – 117.76

t = (g + 117.76) / 0.06

t = (3.0 + 117.76) / 0.06

t = 2012.67

El promedio de 3.0 en las calificaciones llegará en el segundo semestre del 2012.

c.    Pronostica el promedio de calificaciones para 2010.

g = 0.06 t – 117.76

g = 0.06 (2010) – 117.76

g = 120.6 – 117.76

g = 2.84

El promedio de calificaciones para el 2010 será de 2.84

d.    Interpreta el significado de la pendiente del modelo planteado.

El modelo planteado corresponde a una función lineal que tiene una pendiente positiva, lo que nos indica que el promedio de calificaciones obtenido por los egresados es directamente proporcional al tiempo.  A medida que los años avancen, este promedio irá en aumento.

Ejercicio 6. Maximización de utilidades

Una pequeña empresa puede vender todos los artículos que produce a $6.00 cada uno. El costo de producir x artículos a la semana es:

C(x) = 1000 + 6x – 0.003x² + 0.000001x³

a.     ¿Qué valor de x debemos seleccionar con objeto de maximizar utilidades?

b.     ¿Cuál es la utilidad máxima por semana?

Fuente: Arya & Lardner, Matemáticas Aplicadas a la Administración y la Economía,  4ª  ed., Pearson Prentice Hall, EUA, 2002. 

Desarrollo

El costo de producir x artículos a la semana es:

C(x) = 1000 + 6x – 0.003x² + 0.000001x³

La función del ingreso total es:

R(x) = p * x

R(x) = 6 x

La utilidad está dada por la ecuación:

P(x) = R(x) – C(x)

P(x) = (6x) – (1000 + 6x – 0.003x² + 0.000001x³)

P(x) =  – 1000 + 0.003x² - 0.000001x³

La utilidad marginal es la primera derivada de P(x)

P’(x) = 0.006 x – 0.000003 x²

Haciendo P’(x) = 0

0 = 0.006 x – 0.000003 x²

0.000003 x² = 0.006 x

x = 0.006 / 0.000003

x = 2,000

Sacamos la segunda derivada de P’’(x) de P’(x)

P’(x) = 0.006 x – 0.000003 x²

P’’(x) = 0.006 – 0.000006 x

Reemplazando por los límites de (x):

P’’(0) = 0.006 – 0.000006 (0)

P’’(0) = 0.006

P’’(2,000) = 0.006 – 0.000006 (2,000)

P’’(2,000) = 0.006 – 0.012

P’’(2,000) = - 0.006

a.     El valor de x para maximizar las utilidades es: 2,000 unidades.

Reemplazando en la función determinamos la utilidad máxima:

P(2,000) =  – 1000 + 0.003(2,000)² - 0.000001(2,000)³

P(2,000) =  – 1000 + 12,000 – 8,000

P(2,000) =  3,000

b.     La utilidad máxima por semana es: $3,000

Ejercicio 5. Utilidad marginal

La ecuación de la demanda de cierto artículo es p + 0.1x = 80 y la función de costo es C(x) = 5000 + 20x. Calcula la utilidad marginal cuando se producen y venden 150 unidades y también en el caso de que se produzcan y vendan 400 unidades. Explica tus resultados.

Desarrollo

p + 0.1x = 80

p = 80 – 0.1 x

La función del ingreso total es:

R(x) = p * x

R(x) = (80 – 0.1 x) * x

R(x) = - 0.1 x² + 80 x

La utilidad está dada por la ecuación:

P(x) = R(x) – C(x)

P(x) = (- 0.1 x² + 80 x) – (5,000 + 20 x)

P(x) = - 0.1 x² + 60 x -5,000

La utilidad marginal es la primera de P(x)

P(x) = - 0.1 x² + 60 x -5,000

P’(x) = - 0.2 x + 60

 a.    Cuando se producen y venden 150 unidades

P’(x) = - 0.2 x + 60

P’(x) = - 0.2 (150) + 60

P’(x) = - 30 + 60

P’(x) = 30

Esto quiere decir que cuando la producción se incrementa en una pequeña cantidad le conviene al productor ya que tiene la utilidad incrementa en $30 por cada artículo.

b.    Cuando se producen y venden 400 unidades

P’(x) = - 0.2 x + 400

P’(x) = - 0.2 (400) + 60

P’(x) = - 80 + 60

P’(x) = - 20

No le conviene al productor incrementar la producción ya que tendrá una pérdida de $20 por unidad producida.

Ejercicio 4. Ecuación de demanda lineal

En una peluquería se fija el costo de 4 USD por corte de cabello y se registran 100 cortes por semana, en promedio. Cuando se eleva la tarifa a 5 USD, el número de cortes bajan a 80 por semana. Suponiendo una ecuación de demanda lineal entre el precio y el número de cortes, determina la función de ingreso marginal. Encuentra entonces el precio que produce un ingreso marginal igual a cero.

Fuente: Arya & Lardner, Matemáticas Aplicadas a la Administración y la Economía. 4ª ed., Pearson Prentice Hall, EUA, 2002.

Desarrollo

a.    Suponiendo una ecuación de demanda lineal entre el precio y el número de cortes, determina la función de ingreso marginal.

Dado que es una función lineal se tienen los siguientes puntos de la recta: (q₁ ,p₁) = (100 , 4) y (q₂ ,p₂) = (80 , 5), para conseguir la recta que pasa por los dos puntos calculamos la pendiente:

m = (p_{2 –} p₁) / (q_{2 –}q₁)

m = (5 – 4) / (80 – 100)

m = - 0.05

Ahora se reemplaza en la ecuación:

p _– p₁ = m (q _–q₁)

p – 4 = - 0.05 (q – 100)

p = - 0.05 q + 9

La función del ingreso total es:

R = p * q

R = ( - 0.05 q + 9) q

R = - 0.05 q² + 9 q

El ingreso marginal es el resultado de la primera derivada del ingreso total, entonces:

R = - 0.05 q² + 9 q

R’ = - 0.1 q + 9

La función del ingreso marginal es: R’ = - 0.1 q + 9

b.    Encuentra entonces el precio que produce un ingreso marginal igual a cero.

Se hace el ingreso marginal igual a cero

R’ = - 0.1 q + 9

0 = - 0.1 q + 9

q = 9 / 0.1

q = 90

Reemplazando en la función de la demanda:

p = - 0.05 q + 9

p = - 0.05 * 90 + 9

p = 4.5

El precio para un ingreso marginal igual a cero es: 4.5 USD por corte.