Ejercicio 6. Maximización de utilidades

Una pequeña empresa puede vender todos los artículos que produce a $6.00 cada uno. El costo de producir x artículos a la semana es:

C(x) = 1000 + 6x – 0.003x² + 0.000001x³

a.     ¿Qué valor de x debemos seleccionar con objeto de maximizar utilidades?

b.     ¿Cuál es la utilidad máxima por semana?

Fuente: Arya & Lardner, Matemáticas Aplicadas a la Administración y la Economía,  4ª  ed., Pearson Prentice Hall, EUA, 2002. 

Desarrollo

El costo de producir x artículos a la semana es:

C(x) = 1000 + 6x – 0.003x² + 0.000001x³

La función del ingreso total es:

R(x) = p * x

R(x) = 6 x

La utilidad está dada por la ecuación:

P(x) = R(x) – C(x)

P(x) = (6x) – (1000 + 6x – 0.003x² + 0.000001x³)

P(x) =  – 1000 + 0.003x² - 0.000001x³

La utilidad marginal es la primera derivada de P(x)

P’(x) = 0.006 x – 0.000003 x²

Haciendo P’(x) = 0

0 = 0.006 x – 0.000003 x²

0.000003 x² = 0.006 x

x = 0.006 / 0.000003

x = 2,000

Sacamos la segunda derivada de P’’(x) de P’(x)

P’(x) = 0.006 x – 0.000003 x²

P’’(x) = 0.006 – 0.000006 x

Reemplazando por los límites de (x):

P’’(0) = 0.006 – 0.000006 (0)

P’’(0) = 0.006

P’’(2,000) = 0.006 – 0.000006 (2,000)

P’’(2,000) = 0.006 – 0.012

P’’(2,000) = - 0.006

a.     El valor de x para maximizar las utilidades es: 2,000 unidades.

Reemplazando en la función determinamos la utilidad máxima:

P(2,000) =  – 1000 + 0.003(2,000)² - 0.000001(2,000)³

P(2,000) =  – 1000 + 12,000 – 8,000

P(2,000) =  3,000

b.     La utilidad máxima por semana es: $3,000