En una peluquería se fija el costo de
4 USD por corte de cabello y se registran 100 cortes por semana, en promedio.
Cuando se eleva la tarifa a 5 USD, el número de cortes bajan a 80 por semana.
Suponiendo una ecuación de demanda lineal entre el precio y el número de
cortes, determina la función de ingreso marginal. Encuentra entonces el precio
que produce un ingreso marginal igual a cero.
Fuente: Arya & Lardner,
Matemáticas Aplicadas a la Administración
y la Economía. 4ª ed., Pearson Prentice Hall, EUA, 2002.
Desarrollo
a. Suponiendo
una ecuación de demanda lineal entre el precio y el número de cortes, determina
la función de ingreso marginal.
Dado
que es una función lineal se tienen los siguientes puntos de la recta: (q1
,p1) = (100 , 4) y (q2 ,p2) = (80 , 5),
para conseguir la recta que pasa por los dos puntos calculamos la pendiente:
m
= (p2 – p1) / (q2 –q1)
m
= (5 – 4) / (80 – 100)
m
= - 0.05
Ahora
se reemplaza en la ecuación:
p
– p1 = m (q –q1)
p
– 4 = - 0.05 (q – 100)
p
= - 0.05 q + 9
La
función del ingreso total es:
R
= p * q
R
= ( - 0.05 q + 9) q
R
= - 0.05 q2 + 9 q
El
ingreso marginal es el resultado de la primera derivada del ingreso total,
entonces:
R
= - 0.05 q2 + 9 q
R’
= - 0.1 q + 9
La función del ingreso
marginal es: R’ = - 0.1 q + 9
b. Encuentra
entonces el precio que produce un ingreso marginal igual a cero.
Se
hace el ingreso marginal igual a cero
R’
= - 0.1 q + 9
0 =
- 0.1 q + 9
q =
9 / 0.1
q =
90
Reemplazando
en la función de la demanda:
p
= - 0.05 q + 9
p =
- 0.05 * 90 + 9
p =
4.5
